Fractais no quinto ano do ensino fundamental é possível?

Essa aula teve início após algumas perguntas de um aluno sobre Fractais, pois a turma estava estudando Fractais na aula de Artes. Inicialmente investigamos com a turma como foi apresentado o tema fractais naquela disciplina. Averiguamos com a professora de Artes se poderíamos desenvolver em conjunto o tema.  Ela nos orientou como estava desenvolvendo com os alunos e quais vídeos assistiram. O primeiro deles foi Assinatura de Deus (Sequência de Fibonacci)[1] O segundo vídeo  foi Geometria Fractal - Arte e Matemática em Formas Naturais[2]. Desta maneira, novamente, abrimos mais uma exceção e modificamos nosso planejamento de aulas.

            Essa necessidade de abrir exceções vai de acordo com a nossa proposta de pesquisa-ação, ou seja, o trabalho coletivo envolvendo professores e alunos.

o planejamento não pode ser privilégio de um grupo, mas sim resultado de uma ação coletiva dos indivíduos que farão parte da ação. Ele deve acontecer de forma democrática onde todos tenham participação nas decisões e responsabilidades, interagindo constantemente durante todo o processo de ensino aprendizagem. (ALVES E ARAÚJO, 2009, p.391)

            Pesquisamos como trabalhar a Geometria dos Fractais. Encontramos trabalhos específicos[3] sobre este tema, no entanto, todos envolvendo uma matemática elaborada para um quinto ano. Nossa alternativa foi dar o enfoque à repetição das formas e atender ao pedido da turma de construir o triângulo de Sierpinski.

            Foi explicado paralelamente, como se cria um triângulo de Sierpinski[4] e como se cria uma ferramenta de repetição[5].

             O aluno, que nos trouxe as indagações sobre Fractais, conseguiu criar a ferramenta de repetição e utilizá-la com facilidade, fez pesquisa na internet e assistiu a vídeos explicativos de como construir uma ferramenta de repetição no Geogebra.

 Abaixo, temos o resultado do lindo trabalho desenvolvido no Geogebra.

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[1] Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=QpdlHOGjSaQ Acesso em: 12 nov. 2015.

[2] Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=YDhtL566M3U Acesso em: 12 nov. 2015.

[3]

[4] Anexo IX. Passos no Geogebra para se construir um triângulo de Sierpinski.

[5] Anexo X. Como criar uma ferramenta de repetição no Geogebra.

Losango, quadrado, retângulo- diferenças

Em decorrência da discussão em sala de aula, modificamos o planejamento das aulas no laboratório, para inserirmos uma aula a mais, a qual seria sobre as diferenças entre retângulo, quadrado e losango.  A forma mais simplificada que conseguimos desenvolver com a turma para demonstrar as diferenças entre as figuras geométricas foi desenhar com o auxílio da ferramenta polígono e, posteriormente, medir os lados das figuras e dos ângulos internos. Algo semelhante foi desenvolvido na atividade 2 anteriormente. No entanto, naquela ocasião não tínhamos estudado como medir ângulos com a turma.

A dificuldade apresentada nesta atividade foi que, mesmo utilizando a malha quadriculada, muitos alunos não conseguiram desenhar os ângulos de 90º corretamente, dificultando a proposta de trabalho, pois a construção correta, por meio das propriedades das figuras, seria uma sugestão muito avançada para uma turma de quinto ano.

A Fotografia e o Geogebra

Esta atividade foi realizada na sequência da aula em sala de aula sobre polígonos. Cada grupo de alunos foi responsável por fazer o registro de 10 fotos nas quais eles visualizavam figuras geométricas. Eles poderiam registrar imagem nas quais eles visualizavam círculos ou polígonos.

Com as fotos de cada grupo, os pesquisadores criaram um mosaico, o qual seria analisado inicialmente nessa aula de discussão e, posteriormente, no Geogebra.

            O mosaico apresentado a esse grupo em que destacamos o diálogo entre professor e os alunos, está exposto na figura 46 a seguir.

Mosaico de fotos registrados pelos alunos

Resultado do trabalho com o Geogebra na imagem

AULA DO GEOGEBRA COM A ROBÓTICA

Nessa aula vamos colocar em pratica algumas tarefas realizadas pelo robozinho.

Dividimos esta aula em três partes: 

1ª Parte

A tarefa do Robô era passar em todas as salas recolhendo o lixo para a coleta seletiva.

Para a resolução desta atividade é indicado construir uma maquete da escola, para responder às questões sugeridas.

a)      Se o Robô desse uma volta completa entorno da maquete, quantos centímetros ele percorreria?b)      Para ele dar uma volta completa no pátio de salas de aula quantos centímetros ele andaria?

c)      Qual seria o melhor percurso para ele fazer a coleta seletiva? Por quê?

d)      Você tem uma sugestão de um percurso para o robô fazer a coleta? Por quê?

Para responder essas perguntas vamos fazer algumas construções no Geogebra:

1)      Meça as dimensões da maquete que construímos. Anote!!

2)      Desenhe a maquete que construímos com os blocos de salas de aula em um rascunho.

3)      Agora faça este desenho no Geogebra com as dimensões que você mediu.

4)      Calcule o perímetro do quarteirão, dos blocos de sala de aula utilizando o Geogebra.

5)      Responda agora em dupla os itens a), b), c), e d).

6)      Bom trabalho! J

A resolução desta atividade foi proveitosa. 

Maquete e rota do Robô: arquivo pessoal

Medidas da maquete: arquivo pessoal

2ª Parte

Hoje vamos aprender algo diferente!

Você sabe o que é uma circunferência?

Sabendo que a roda do Robozinho tem um diâmetro de 1,1 cm como mostra na figura abaixo:

medidas da roda do robô

Considerando o percurso do Robô para dar uma volta na maquete, calculado na atividade 1 item a), calcule quantas “rotações” ou quantas “voltas” a roda deve dar para percorrer todo o percurso?

Observação: pode utilizar a calculadora do computador para efetuar os cálculos da questão.

3ª Parte

1)      Com quais figuras espaciais você poderia construir os blocos de salas de aula?

2)      Construa um bloco de sala de aula no Geogebra 3d. (salve na área de trabalho com o nome: AR1 3d).

3)      Planifique utilizando o Geogebra essa construção (salve na área de trabalho com o nome: salas AR1 plan).

4)      Quais são as figuras geométricas planas que fazem parte dessa planificação?

5)       Desafio: Se um robô ocupa uma área de estacionamento de 30x30, ou seja de 900cm², quantos robozinhos caberiam em todo o pátio da maquete?

CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO DE SIERPINSKI NO GEOGEBRA COM A FERRAMENTA DE REPETIÇÃO

Inicialmente vamos nomear as ferramentas do software da seguinte maneira:

1à Agora clique na Ferramenta 5.2- polígono Regular

2à escolha a distância entre os vértices A e B

3à Irá aparecer uma janela para você colocar a quantidade de vértices que deseja compor o seu polígono regular.  Escreva 3 dentro desse campo e clique em OK

Vamos construir um triângulo com todos os lados de mesma medida: Triângulo Isósceles.

4àAgora vamos marcar os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Com a Ferramenta 2.5- ponto médio ou centro.

5à Clique nos lados do triângulo. E aparecerá os pontos médios  D, E e F.

Essa foi a 1ª iteração do triângulo de Sierpinski

6à Vamos construir outro triângulo, para isso, vamos criar um triângulo com os pontos E,D, F e retornando ao ponto E para fechar o polígono,  utilizando a  Ferramenta  5.1- Polígono.

Essa foi a 2ª iteração do triângulo de Sierpinski.

7à clique na Ferramenta 1.1 e marque toda a figura.

8à vá no menu Ferramentas, e clique em Criar uma Nova Ferramenta, clique em próximo, próximo, concluído e ok.

9à Aparecerá abaixo da barra de ferramentas um ícone novo: Ferramenta1.

Clique nesse ícone e m seguida no pontos C e F, faça novamente esse processo com os  pontos F e A. Assim sucessivamente.

construção do Triângulo de SIERPINSKI

Vamos nomear as ferramentas do software da seguinte maneira:

Inicialmente construiremos um triângulo equilátero, para isto utilizaremos a ferramenta 5.2 e criamos dois pontos A e B na área de construção do software, aparecerá uma janela que pedirá quantos lados terá o polígono, aqui basta colocar 3 no campo destinado e daí clicar em OK, obtendo assim o polígono 1.

Agora, para obter a segunda iteração do triângulo de Sierpinski marcamos os pontos médios dos segmentos AB, BC e AC, utilizando a ferramenta 2.3, para isto basta clicar nos pontos A e B onde obteremos o ponto D; da mesma forma obtemos os pontos E e F, respectivamente. Utilizando a ferramenta 5.1 unimos os pontos D, E e F, obtendo o polígono 2, como na figura abaixo:

Para remover o triângulo central basta mudar sua cor para branco, o que podemos fazer clicando com o botão direito do mouse no polígono 2 e depois em propriedades, aí selecionamos a aba cor e mudamos para a desejada, e em seguida clica-se na aba estilo em preenchimento, alterando-o para 100. Pode-se também  mudar a cor de outros polígonos, o que pode ser feito utilizando o mesmo recurso. Assim nosso triângulo de Sierpinski ficará como na figura.

Para construir as outras iterações do triângulo de Sierpinski vamos criar uma nova ferramenta que as fará, clicamos em ferramentas >>Criar uma nova ferramenta, aparecerá na tela uma janela que pedirá os objetos iniciais, objetos finais e um nome para ela. 

• objetos iniciais: pontos A, B e C, nessa ordem.
• objetos finais: os pontos médios D, E e F, e o polígono 2.
• nome: triângulo de Sierpinski. 

Assim clica-se em concluído, e aparecerá um ícone na barra de ferramentas do Geogebra. 

Agora podemos criar um triângulo de Sierpinski utilizando esta ferramenta, com o número de iterações que for necessário. Na figura abaixo apresentamos algumas iterações deste fractal realizadas no Geogebra.

Construção de ângulos

ANEXO IX-  CONSTRUÇÃO DE ÂNGULO NO GEOGEBRA

1-      Abra o software Geogebra

2-      Clique no mause botão direitoà eixos

3-      Clique com o mause botão direito à malha quadriculada

4-      Clique na ferramenta 2 e crie um ponto A m sua janela de visualização.

5-      Clique na ferramenta 3 e crie um segmento de reta com a origem em A.

6-      Clique novamente no ponto A e crie um novo segmento também com a origem em A, veja na figura abaixo:

7-      Clique na ferramenta 8 e vá em Ângulo

8-      Em sua janela de visualização, clique na sequencia dos pontos C, A e B. Aparecerá a medida do ângulo interno  que você desenhou.

9-       Agora, clique na ferramenta 5 e vá em polígono, desenhe um triangulo qualquer DDEF.

10-  Clique novamente na ferramenta 8 e meça o ângulo E. Ou seja clique nos pontos, D,  E e depois F.

11-   Agora clique novamente na ferramenta 8 e meça o ângulo F, E e depois D. Qual a diferença da resposta da questão 10 com a questão 11?

Existe diferença entre medir o ângulo no sentido horário e no sentido anti-horário?